202511021711 - Integralsatz von Cauchy

Satz

Eine Menge $U\subset \mathbb{C}$ heißt wegzusammenhängend, falls für alle Paare von Punkten $z_0,z_1\in U$ eine Kurve $\gamma$ mit Endpunkten $\{z_0,z_1\}$ existiert.

Ein Gebiet ist eine offene, wegzusammenhängende Menge.

Eine Menge $U\subset \mathbb{C}$ heißt einfach zusammenhängend, falls jede geschlossene Kurve in $U$ sich in $U$ stetig zu einem Punkt zusammenziehen lässt (der in $U$ liegt), also nullhomotop ist. ¹

Sei $U\subset \mathbb{C}$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet und $f:U\to \mathbb{C}$ in U komplex differenzierbar . Sei weiter $\gamma :[a,b]\to U$ eine in U verlaufende einfach geschlossene Kurve . Dann gilt

${\oint }_{\gamma }f(z)dz=0$

Diese Aussage gilt auch für geschlossene Kurven mit endlich vielen Überschneidungen . ²

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

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2. page=80 ↩