202511021811 - Beweis von Integralsatz von Cauchy 2

Beweis

Wir geben vereinfachend nur den Beweis für den Fall, wo die Ableitung $f^{\prime }$ stetig ist ; der allgemeine Fall wird durch den Satz von Goursat behandelt und ist etwas trickreich . Die Kurve $\gamma$ berandet einen Bereich $B\subset U$ (bzw. berandet die entsprechende Kurve $\tilde{\gamma }$ einen Bereich $\tilde{B}\subset {\mathbb{R}}^2$) . Nach Lemma 2.5.10 gilt

$Re({\oint }_{\gamma }f(z)dz)={\oint }_{\tilde{\gamma }}\left(\begin{array}{c}u\\ -v\end{array}\right)\cdot d\vec{x}$

$={\int }_{\tilde{B}}(-v_x-u_y)dxdy$

mit Satz von Green

$=0$

wegen den Cauchy-Riemann-Gleichungen . Analog gilt (wieder mit dem Satz von Green und den Cauchy-Riemann-Gleichungen)

$Im({\oint }_{\gamma }f(z)dz)={\oint }_{\gamma }\left(\begin{array}{c}v\\ u\end{array}\right)\cdot d\vec{x}={\int }_B(u_x-v_y)dxdy=0$

.

Hat $\gamma$ endlich viele Überschneidungen, so lässt sich die Kurve in endlich viele einfache Schleifen zerlegen . Das Kurvenintegral über jede dieser Kurven ist aber gleich 0 . ¹ Hat $\gamma$ endlich viele Überschneidungen, so lässt sich die Kurve in endlich viele einfache Schleifen zerlegen. Das Kurvenintegral über jede dieser Kurven ist aber gleich 0. ²

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

1. page=80 ↩

2. page=81 ↩