202511072211 - Fourierspektrum der Ableitung stückweise stetig differenzierbarer Funktionen mit Sprungstellen

Lemma

Sei $f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ T-periodisch mit Fourierspektrum $\{c_k{\}}_{k\in \mathbb{Z}}$. Sei $f$ stückweise stetig, habe auf $[0,T)$ die Sprungstellen $0\le t_1<\cdots <t_N<T$ und sei dazwischen stetig differenzierbar (das ist etwas schwächer als stückweise stetige Differenzierbarkeit). Setze ${\Delta }_j=f(t_j^{+})-f(t_j^{-}).$ Sei $f^{\prime }$ die Ableitung (definiert nur außerhalb der Sprungstellen, also auf $[0,T]\setminus \{t_1,\dots ,t_N\}$, und periodisch fortgesetzt). Das Fourierspektrum $\{d_k{\}}_{k\in \mathbb{Z}}$ der Funktion $t\to f^{\prime }(t)\text{ist}{d}_k=ik\omega c_k-\frac{1}{T}{\sum }_{j=1}^N{\Delta }_j{e}^{-ik\omega t_j}\text{fu¨r alle }k\in \mathbb{Z}.$ ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

• 202510210410 - Bemerkung 1.1.42 für Fourierspektrum der Ableitung stückweise stetig differenzierbarer Funktionen mit Sprungstellen

Quellen

Footnotes

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