202511090411 - Beweis von Stammfunktion und Wegunabhängigkeit des Integrals

Beweis

Die Behauptung (Gleichung 2.10) folgt aus ${\int }_a^{b}f(\gamma (t))\cdot {\gamma }^{\prime }(t)dt={\int }_a^b{F}^{\prime }(\gamma (t))\cdot {\gamma }^{\prime }(t)dt={\int }_a^b\frac{d}{dt}F(\gamma (t))dt=F(\gamma (b))-F(\gamma (a)).$ Behauptung (i) folgt unmittelbar. Behauptung (ii) folgt durch Zerlegung eines geschlossenen Weges $\gamma$ in zwei Teilwege ${\gamma }_1,{\gamma }_2$ (durch beliebige Wahl von Anfangs/Endpunkten $z_0,z_1\in \text{im}(\gamma )$) und Anwendung von (2.10). Man beachte, dass hier (nach geeigneter Umparametrisierung) die Endpunkte dieser Kurven (im von $\gamma$ vorgegebenen Durchlaufsinn) gleich $\begin{array}{r}{\gamma }_1(a)=z_0={\gamma }_2(b)\\ {\gamma }_1(b)=z_1={\gamma }_2(a)\end{array}$ sind. Daher gilt ${\int }_{{\gamma }_1}f(z)dz=-{\int }_{{\gamma }_2}f(z)dz$ und damit ${\oint }_{\gamma }f(z)dz=0$. ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

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Quellen

Footnotes

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