202511090811 - Beweis für Deformierbarkeit des Integrationsweges

Beweis

(Beweisidee, siehe Abbildung 9). Sei ${\gamma }_1=\partial B_r(z_0)$ und ${\gamma }_2=\partial B_{ϵ}(\alpha )$. Wir verbinden ${\gamma }_1$ und ${\gamma }_2$ durch zwei Kurvenstücke ${\nu }_1,{\nu }_2$. Durchlaufen wir jetzt sukzessive ${\gamma }_1,{\nu }_1$, dann ${\gamma }_2^{\ast }$ und dann ${\nu }_2^{\ast }$, erhalten wir eine geschlossene Kurve $\gamma$ in $U\setminus \{\alpha \}$ die nullhomotop ist. Man kann die Kurve $\gamma$ nun beliebig gut durch eine geschlossene Kurven approximieren, die in einem einfach zusammenhängenden Teilgebiet von $U\setminus \{\alpha \}$ verläuft (also nullhomotop ist). Wendet man also die Integralformel von Cauchy auf einer geschachtelten Familien von einfach zusammenhängenden Teilgebieten von $U\setminus \{\alpha \}$ und darin verlaufenden geschlossenen Kurven, die $\gamma$ zunehmend besser approximieren, so sieht man dann leicht: $\begin{array}{rl}0& ={\oint }_{\gamma }f(z)dz\\ & ={\int }_{{\gamma }_1}f(z)dz+{\int }_{{\nu }_1}f(z)dz+{\int }_{{\gamma }_2^{\ast }}f(z)dz+{\int }_{{\nu }_2^{\ast }}f(z)dz\\ & ={\int }_{{\gamma }_1}f(z)dz+{\int }_{{\nu }_1}f(z)dz-{\int }_{{\gamma }_2}f(z)dz-{\int }_{{\nu }_2}f(z)dz.\end{array}$ Wählen wir jetzt ${\nu }_1$ und ${\nu }_2$ wie in Abbildung 9, d.h. jeweils dasselbe Liniensegment in umgekehrter Richtung durchlaufen, dann gilt ${\int }_{{\nu }_1}f(z)dz=-{\int }_{{\nu }_2}f(z)dz$ und die Behauptung folgt. ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

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