202511091311 - Anwendung der Cauchy-Integralformel

Beispiel

Als Anwendung der Cauchy-Integralformel berechnen wir das Integral ${\oint }_{|z|=4}\frac{e^z}{z^2+3z}dz.$ Wir führen erst eine Partialbruchzerlegung durch: Wir setzen $\frac{1}{z^2+3z}=\frac{a}{z}+\frac{b}{z+3}$ an und erhalten durch Erweitern $a(z+3)+bz=1$ also durch Koeffizientenvergleich $a=\frac{1}{3},b=-a=-\frac{1}{3}.$ Damit ist das betrachtete Integral gleich $$\begin{gathered} {\oint }_{|z|=4}\frac{e^z}{z^2+3z}dz=\frac{1}{3}{\oint }_{|z|=4}\frac{e^z}{z}dz-\frac{1}{3}{\oint }_{|z|=4}\frac{e^z}{z+3}dz \\ =\frac{1}{3}2\pi i{e}^0-\frac{1}{3}2\pi i{e}^{-3}=\frac{2\pi i}{3}(1-e^{-3}) \end{gathered}$$ Hier haben wir verwendet, dass mit $\zeta =0$, $r=4$ und der Funktion $z\mapsto e^z$, bzw. mit $\zeta =-3$, $r=4$ und $z\mapsto e^z$ die Voraussetzungen der Cauchy-Integralformel erfüllt sind. ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

1. page=85 ↩