202511092211 - Beweis für Fundamentalsatz der Algebra

Beweis

Sei $p(z)=a_0+a_{1}z+\cdots +a_n{z}^n,a_i\in \mathbb{C}\text{mit }{a}_n\ne 0$ ein Polynom vom Grad $n\in \mathbb{N}$ (also nicht konstant). Angenommen, $p$ hätte keine Nullstelle in $\mathbb{C}$. Dann wäre die Funktion $f(z)=1/p(z)$ eine ganze Funktion. Außerdem gilt ${\lim }_{|z|\to \infty }|f(z)|={\lim }_{|z|\to \infty }1/|p(z)|={\lim }_{|z|\to \infty }\frac{1}{|z{|}^n}\cdot {\lim }_{|z|\to \infty }\frac{1}{|a_n+\frac{a_{n-1}}{z}+\cdots +\frac{a_0}{z^n}|}=0,$ und damit würde ein $r>0$ existieren, so dass $|f(z)|\le 1\text{fu¨r alle }z\in \mathbb{C}\setminus B_r(0).$ Weil $z\mapsto f(z)$ stetig ist, folgt dass ${\sup }_{z\in \overline{B_r(0)}}|f(z)|<\infty$, also wäre $f$ eine beschränkte ganze Funktion, also nach dem Satz von Liouville (Theorem 2.7.9) konstant. Dies ist ein Widerspruch dazu, dass $p$ nicht konstant ist. ¹

Übungsaufgaben

LIST FROM [[]]
WHERE contains(mytags, [[aufgaben]])
SORT file.name ASC

Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

1. page=86 ↩