202511100011 - Taylor-Reihe holomorpher Funktionen

Satz

Sei $U\subset \mathbb{C}$ ein Gebiet und $f:U\to \mathbb{C}$ holomorph auf $U$. Weiter seien $r>0$ und $z_0\in U$ so, dass $\overline{B_r(z_0)}\subset U$. Dann ist $f$ für jedes $\rho \in (0,r)$ im Kreisring $B_{\rho }(z_0)$ als Potenzreihe (die Taylor-Reihe um $z_0$) entwickelbar und somit auf $B_{\rho }(z_0)$ unendlich oft komplex differenzierbar. Es gilt $f(z)={\sum }_{k=0}^{\infty }{a}_k(z-z_0{)}^k={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{f^{(k)}(z_0)}{k!}(z-z_0{)}^k\text{fu¨r alle }z\in \mathbb{C}\text{ mit }|z-z_0|<\rho <r,$ wobei der $k$-te Taylor-Reihenkoeffizient durch $a_k=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|\zeta -z_0|=r}\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z_0{)}^{k+1}}d\zeta (2.13)$ gegeben ist. ¹

Beispiele

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

• Holomorphie und Analytizität

Quellen

Footnotes

1. page=87 ↩