202511100111 - Beweis für Taylor-Reihe holomorpher Funktionen

Beweis

Wir wenden die Cauchy-Integralformel in der Form $f(z)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|\zeta -z_0|=r}\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta (2.14)$ an, wobei hier $B_r(z_0)\subset U$. Die grundlegende Idee ist, die Funktion $1/(\zeta -z)$ durch eine Potenzreihe zu ersetzen: Wir haben unter Benutzung der geometrischen Reihe $\begin{array}{rl}\frac{1}{\zeta -z}& =\frac{1}{(\zeta -z_0)-(z-z_0)}=\frac{1}{\zeta -z_0}\frac{1}{1-\frac{z-z_0}{\zeta -z_0}}\\ & =\frac{1}{\zeta -z_0}\sum _{k=0}^{\infty }{\left(\frac{z-z_0}{\zeta -z_0}\right)}^k=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(z-z_0{)}^k}{(\zeta -z_0{)}^{k+1}}\text{fu¨r alle }{z}_0,z,\zeta \in \mathbb{C}\text{ mit }|z-z_0|<|\zeta -z_0|.\end{array}$ Einsetzen in (2.14) liefert den Ausdruck $\begin{array}{rl}f(z)& =\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|\zeta -z_0|=r}\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta =\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|\zeta -z_0|=r}f(\zeta )\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(z-z_0{)}^k}{(\zeta -z_0{)}^{k+1}}d\zeta \\ & =\sum _{k=0}^{\infty }\left(\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|\zeta -z_0|=r}\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z_0{)}^{k+1}}d\zeta \right)(z-z_0{)}^k.\end{array}$ Im letzten Schritt haben wir Summe und Integral vertauscht: dies ist wegen der gleichmäßigen Konvergenz der Reihe (siehe Theorem 2.3.2) gerechtfertigt. Also erhalten wir $f(z)={\sum }_{k=0}^{\infty }{a}_k(z-z_0{)}^k\text{mit}{a}_k=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|\zeta -z_0|=r}\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z_0{)}^{k+1}}d\zeta .$ Insbesondere stimmt $f$ für jedes $\rho \in (0,r)$ auf $B_{\rho }(z_0)$ mit einer Potenzreihe überein. Also ist dort $f$ beliebig oft differenzierbar (siehe Theorem 2.3.6) und wir haben (wegen der Standard-Taylor-Reihenentwicklung, oder alternativ wegen Theorem 2.7.7) ${\sum }_{k=0}^{\infty }{a}_k(z-z_0{)}^k={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{f^{(k)}(z_0)}{k!}(z-z_0{)}^k.$ ¹

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

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