202511101111 - Konvergenz und Eigenschaften von Laurent-Reihen

Lemma

Sei $Q(z)={\sum }_{k=-\infty }^{\infty }{c}_k(z-z_0{)}^k$ eine Laurent-Reihe und $1/r,R$ die entsprechenden Konvergenzradien des Haupt- und Nebenteils. Dann konvergiert $Q(z)$ auf dem Kreisring $A_{r,R}(z_0)$ und stellt dort eine holomorphe Funktion $f:A_{r,R}(z_0)\to \mathbb{C}$ dar. Weiter gilt: (i) Die Funktion $f$ ist holomorph auf $A_{r,R}(z_0)$ mit Ableitung $f^{\prime }(z)={\sum }_{k=-\infty }^{\infty }k{c}_k(z-z_0{)}^{k-1}.$ (ii) Ist $c_{-1}=0$, dann ist $F(z)={\sum }_{k=-\infty }^{\infty }\frac{c_k}{k+1}(z-z_0{)}^{k+1}$ eine Stammfunktion von $f$ auf $A_{r,R}(z_0)$. Analog wie bei Potenzreihen (bzw. Taylor-Reihen) lassen sich die Laurent-Reihenkoeffizienten $\{c_k{\}}_{k\in \mathbb{Z}}$ durch Kurvenintegrale ausdrücken: ¹

Visualisierung

Abbildung 10: Beweisidee für den Laurent-Reihenentwicklungssatz

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

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