202511101211 - Laurent-Reihenentwicklung auf Kreisringen

Lemma

Seien $0\le r<R\le \infty$ und sei $f:A_{r,R}(z_0)\to \mathbb{C}$ holomorph auf $A_{r,R}(z_0)$. Dann kann $f$ auf $A_{r,R}(z_0)$ als Laurent-Reihe $f(z)={\sum }_{k=-\infty }^{\infty }{c}_k(z-z_0{)}^k$ dargestellt werden mit absoluter und gleichmäßiger Konvergenz des Hauptteils auf $A_{\tilde{r},\infty }(z_0)$ für jedes $\tilde{r}>r$, und absoluter und gleichmäßiger Konvergenz des Nebenteils auf $B_{R^{\prime }}(z_0)$ für jedes $R^{\prime }<R$. Die Koeffizienten $\{c_k{\}}_{k\in \mathbb{Z}}$ sind durch die Formel $c_k=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|z-z_0|=\rho }\frac{f(z)}{(z-z_0{)}^{k+1}}dz\forall k\in \mathbb{Z}$ für $\rho \in (r,R)$ beliebig gegeben. Insbesondere ist die darstellende Laurent-Reihe eindeutig durch $f$ bestimmt. ¹

Visualisierung

Abbildung 10: Beweisidee für den Laurent-Reihenentwicklungssatz

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

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