202511101411 - Regeln zur Konstruktion von Laurent-Reihen 2

Lemma

Es gelten folgende Regeln: (i) Sei $g:B_R(z_0)\to \mathbb{C}$ holomorph auf $B_R(z_0)$ und $m\in {\mathbb{N}}_0$. Dann ist die Laurent-Reihe der Funktion $f(z):=\frac{g(z)}{(z-z_0{)}^m}$ auf $A_{0,R}(z_0)=\{z\in \mathbb{C}\setminus \{z_0\}\mid |z-z_0|<R\}$ gegeben durch $f(z)={\sum }_{k=-m}^{\infty }\frac{g^{(k+m)}(z_0)}{(k+m)!}(z-z_0{)}^k.$ (ii) Angenommen, $g:B_R(0)\to \mathbb{C}$ sei holomorph auf $B_R(0)$. Dann ist die Laurent-Reihe der Funktion $f(z):=g\left(\frac{1}{z-z_0}\right)$ auf $\{z\in \mathbb{C}\mid |z-z_0|>1/R\}=A_{1/R,\infty }(z_0)$ gegeben durch $f(z)={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{g^{(k)}(0)}{k!}(z-z_0{)}^{-k}.$ ¹ 202511101511 - Beweis für Regeln zur Konstruktion von Laurent-Reihen

Übungsaufgaben

LIST FROM [[]]
WHERE contains(mytags, [[aufgaben]])
SORT file.name ASC

Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

1. page=93 ↩