202511101811 - Äquivalenz von Taylor- und Laurent-Reihen

Bemerkungen

Aus (i) folgt auch (mit $m=0$ und der Eindeutigkeit der Laurent-Reihe), dass für eine holomorphe Funktion $f:B_R(z_0)\to \mathbb{C}$ die Taylor-Reihe von $f$ mit der Laurent-Reihe von $f$ auf $A_{0,R}(z_0)$ übereinstimmt. Alternativ können wir das auch anhand der Formel $c_{-k}=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|z-z_0|=\rho }f(z)(z-z_0{)}^{k-1}d\zeta =0\text{fu¨r alle }k\in \mathbb{N}$ und $\rho \in (0,R)$ sehen. Das Integral verschwindet, weil der Integrand auf $B_R(z_0)$ analytisch ist (siehe Lemma 2.6.5 und Lemma 2.6.6). ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

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Quellen

Footnotes

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