202511101911 - Bemerkung zu Laurent-Reihen in verschiedenen Kreisringen

Bemerkungen

Der Konvergenzbereich der Laurent-Reihe wird jeweils durch Punkte beschränkt, in denen die Funktion nicht analytisch ist. Betrachte z.B. $f(z)=\frac{1}{2-z}.$ Der Nenner hat eine Nullstelle bei $z_1=2$. Ist der Entwicklungspunkt $z_0=1$, dann sind $A_{0,1}(1)$ und $A_{1,\infty }(1)$ die maximalen Kreisringe, die $z_1$ nicht enthalten. Auf der Kreisscheibe $B_1(1)$ ist $f$ analytisch und besitzt daher eine Taylor-Entwicklung. Wir erhalten diese mit Hilfe der geometrischen Reihe: $\frac{1}{2-z}=\frac{1}{1-(z-1)}={\sum }_{k=0}^{\infty }(z-1{)}^k\text{fu¨r alle }z\in B_1(1).$ Auf $A_{1,\infty }(1)$ ist $f$ analytisch, und wir erhalten folgende Laurent-Reihe (wiederum mit der geometrischen Reihe): $\frac{1}{2-z}=-\frac{1}{(z-1)-1}=-\frac{1}{z-1}\frac{1}{1-\frac{1}{z-1}}=-\frac{1}{z-1}{\sum }_{k=0}^{\infty }(z-1{)}^{-k}={\sum }_{k=1}^{\infty }-(z-1{)}^{-k}\text{fu¨r alle }z\in A_{1,\infty }(1).$ ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

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