202511110011 - Klassifikation anhand der Laurent-Reihe 2

Lemma

Sei $U\subset \mathbb{C}$ offen und $f:U\to \mathbb{C}$ holomorph. Sei $z_0\notin U$ eine isolierte Singularität von $f$ und (für ein geeignetes $r>0$) $f(z)={\sum }_{k=-\infty }^{\infty }{c}_k(z-z_0{)}^k$ die Laurent-Reihe von $f$ auf $A_{0,r}(z_0)$. Dann gilt: Die isolierte Singularität $z_0$ ist (i) hebbar, falls $c_{-k}=0$ für alle $k\in \mathbb{N}$. (ii) ein Pol der Ordnung $m\ge 1$, falls $c_{-m}\ne 0$ und $c_{-k}=0$ für alle $k>m$. (iii) wesentlich, wenn es unendlich viele $k\in \mathbb{N}$ gibt mit $c_{-k}\ne 0$. ¹

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus den Definitionen. ²

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

1. page=96 ↩

2. page=96 ↩