202511110111 - Charakterisierung über den Hauptteil 2

Bemerkungen

Mit anderen Worten: (i) $z_0$ ist hebbar $\iff$ der Hauptteil verschwindet, d.h. $f(z)={\sum }_{k=0}^{\infty }{c}_k(z-z_0{)}^k$ (ii) $z_0$ ist ein Pol $m$-ter Ordnung $\iff$ der Hauptteil bricht ab, d.h. $f(z)=\underset{\text{Hauptteil}}{\underbrace{\frac{c_{-m}}{(z-z_0{)}^m}+\cdots +\frac{c_{-1}}{z-z_0}}}+\underset{\text{Nebenteil}}{\underbrace{\sum _{k=0}^{\infty }{c}_k(z-z_0{)}^k}}$ (iii) $z_0$ ist eine wesentliche Singularität $\iff$ der Hauptteil bricht nicht ab: $\forall m\in \mathbb{N}\exists k>m$ so dass $c_{-k}\ne 0$. Das Verhalten bei wesentlichen Singularitäten ist sehr komplex, wie folgender Satz zeigt: 202511110211 - Casorati-Weierstraß ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

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Quellen

Footnotes

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