202511110511 - Beweis zu Verhalten von Funktionen an Singularitäten 2

Beweis

(i): Ist $z_0$ hebbar, dann besitzt $f$ (genauer: die Funktion $\tilde{f}$) eine Taylor-Reihe um $z_0$ und ist insbesondere stetig, also lokal beschränkt um $z_0$. Erfüllt $f$ umgekehrt (Gleichung 2.22) mit einer Konstante $C>0$ und $r>0$, dann gilt für $\rho \in (0,r)$ $|c_{-k}|\le \frac{1}{|2\pi i|}{\oint }_{\partial B_{\rho }(z_0)}|f(\zeta )|\cdot |(\zeta -z_0{)}^{k-1}||d\zeta |\le \rho \cdot C\cdot {\rho }^{k-1}=C\cdot {\rho }^k\to 0\text{fu¨r }\rho \to 0.$ Damit folgt $c_{-k}=0$ für alle $k\in \mathbb{N}$. Mit Lemma 2.10.6 ist daher $z_0$ hebbar. (ii): Sei $z_0$ ein Pol der Ordnung $m\in \mathbb{N}$. Dann ist $f(z)=(z-z_0{)}^{-m}{f}_1(z)$ für eine holomorphe Funktion $f_1$ auf $B_r(z_0)$ (für ein geeignetes $r>0$) mit $f_1(z_0)\ne 0$. Wegen $f_1(z)\to f_1(z_0)$ für $z\to z_0$ folgt $|f(z)|\to \infty$ für $z\to z_0$. Gelte umgekehrt (Gleichung 2.23). Dann kann $z_0$ nach (i) keine hebbare Singularität sein. Außerdem sagt der Satz von Casorati-Weierstraß (Theorem 2.10.8), dass $z_0$ auch keine wesentliche Singularität sein kann, wenn (Gleichung 2.23) gilt. Daher ist $z_0$ ein Pol, wie behauptet. ¹

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Referenz

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Quellen

Footnotes

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