202511110911 - Beispiel zu Residuum und Cauchy-Integralformel 2

Beispiel

Sei $V\subset \mathbb{C}$ offen und $f:V\to \mathbb{C}$. Sei weiter $z_0\in V$ und $f$ holomorph bei $z_0$. Dann hat die Funktion $z\mapsto \frac{f(z)}{z-z_0}$ eine isolierte Singularität bei $z_0$ und ${\text{Res}}_{z_0}\left(z\mapsto \frac{f(z)}{z-z_0}\right)=f(z_0).$ Dies folgt aus der Cauchy-Integralformel (Theorem 2.7.3) oder Lemma 2.9.5 (i). Ist weiter $g:V\to \mathbb{C}$ auch holomorph, dann gilt ${\text{Res}}_{z_0}\left(z\mapsto g(z)+\frac{f(z)}{z-z_0}\right)=f(z_0).$ Hier haben wir verwendet, dass $g$ als Taylorreihe dargestellt werden kann bzw. dass das geschlossene Kurvenintegral einer holomorphen Funktion verschwindet. ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

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Quellen

Footnotes

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