202511111211 - Beispiel zu Berechnung eines Residuums auf zwei Arten

Beispiel

Die Funktion $f:{\mathbb{C}}^{\times }\to \mathbb{C}$ definiert durch $f(z)=\frac{\sin (z{)}^2}{z^3}$ hat bei $z_0=0$ einen einfachen Pol. Daher gilt ${\text{Res}}_0(f)={\lim }_{z\to 0}\frac{\sin (z{)}^2}{z^2}={\left({\lim }_{z\to 0}\frac{\sin (z)}{z}\right)}^2.$ Wegen ${\lim }_{z\to 0}\frac{\sin (z)}{z}={\lim }_{z\to 0}\frac{\sin (z)-\sin (0)}{z}={\sin }^{\prime }(0)=\cos (0)=1$ erhalten wir ${\text{Res}}_0(f)=1.$ Alternativ könnte man direkter die Taylor-Reihe von $\sin (z)$ verwenden, um ${\text{Res}}_0(f)=c_{-1}$ zu berechnen: Wir haben $\sin (z)=z-\frac{z^3}{3!}+O(z^5)$ und daher $\sin (z{)}^2=z^2-\frac{z^4}{3}+O(z^6).$ Dies liefert $f(z)=\frac{\sin (z{)}^2}{z^3}=z^{-1}-\frac{z}{3}+O(z^3)$ also ${\text{Res}}_0(f)=c_{-1}=1$. ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

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Quellen

Footnotes

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