202511111511 - Residuensatz

Satz

Sei $U\subset \mathbb{C}$ ein Gebiet und $f:U\setminus S\to \mathbb{C}$ holomorph auf $U\setminus S$ mit isolierten Singularitäten $S\subset U$ ($S$ ist eine diskrete Menge). Sei weiter $\gamma :[a,b]\to U$ eine einfach geschlossene, positiv orientierte Kurve, die einschließlich ihres Inneren vollständig in $U$ liegt. Das Innere von $\gamma$ enthalte höchstens endlich viele Singularitäten $\{a_1,\dots ,a_m\}\subset S$ von $f$ und $S\cap \text{im}(\gamma )=\varnothing$ (d.h. auf $\gamma$ liegen keine Singularitäten). Dann gilt ${\oint }_{\gamma }f(z)dz=2\pi i{\sum }_{j=1}^m{\text{Res}}_{a_j}(f)(2.24)$ ¹

Bemerkung

Mit dem Residuensatz können spezielle Integrale berechnet werden: Er liefert direkt eine Möglichkeit, komplexe Integrale über geschlossene Kurven (“ohne Integration”) zu berechnen. Auf solche Integrale kommt man durch Umschreiben “praxisrelevanter” Integrale, etwa mit folgenden Substitutionen: 202511111711 - Berechnung trigonometrischer Integrale ²

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

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2. page=100 ↩