202511111811 - Beweis zu Berechnung trigonomische Integrale

Beweis

Nach Definition des Wegintegrals gilt ${\oint }_{\partial B_1(0)}f(z)dz={\int }_0^{2\pi }f(e^{it})i{e}^{it}dt$ also ${\oint }_{\partial B_1(0)}\frac{f(z)}{iz}dz={\int }_0^{2\pi }f(e^{it})dt.$ Ist $f$ die Funktion (Gleichung 2.26) dann ist $f(e^{it})=g(\cos (t),\sin (t))$ wegen der Eulerformel. Daraus folgt die Behauptung.

Integrale wie auf der rechten Seite von (Gleichung 2.25) lassen sich direkt mit dem Residuensatz berechnen (wenn $f$ die entsprechenden Voraussetzungen erfüllt). ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

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Quellen

Footnotes

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