202511111911 - Berechnung von Integral über die reelle Achse mittels Residuen 2

Lemma

Sei $U\subset \mathbb{C}$ offen mit $\{z\in \mathbb{C}\mid \text{Im}(z)\ge 0\}\subset U$ d.h. U enthält die obere Halbebene. Sei weiter $f:U\setminus S\to \mathbb{C}$ holomorph, wobei $S$ die Menge der isolierten Singularitäten von $f$ ist. Weiter sei $S\cap \mathbb{R}=\varnothing$ (d.h. $f$ hat keine isolierten Singularitäten auf der reellen Achse), und $\{z_1,\dots ,z_n\}=\{z\in S\mid \text{Im}(z)>0\}$ die Menge der isolierten Singularitäten in der oberen Halbebene. Schließlich gelte ${\lim }_{|z|\to \infty }|z|\cdot |f(z)|=0.(2.27)$ Dann ist ${\lim }_{r\to \infty }{\int }_{-r}^{r}f(x)dx=2\pi i{\sum }_{j=1}^n{\text{Res}}_{z_j}(f).$ ¹

Übungsaufgaben

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Quellen

Footnotes

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