202511112111 - Beispiel zu Berechnung eines reellen Integrals mit dem Residuensatz

Beispiel

Sei $f:\mathbb{C}\setminus \{i,-i\}\to \mathbb{C}$ definiert durch $f(z)=\frac{1}{z^2+1}.$ Dann ist $f$ auf $\mathbb{C}\setminus \{i,-i\}$ holomorph und $i,-i$ sind isolierte Singularitäten von $f$. Zusätzlich gilt $|z|\cdot |f(z)|=\frac{|z|}{|z{|}^2+1}\to 0\text{fu¨r }|z|\to \infty .$ Wir schränken $f$ auf $U:=\{z\in \mathbb{C}\mid \text{Im}(z)>-1/2\}$ ein, so dass mit $S=\{i\}$ die Voraussetzungen von Lemma 2.11.12 erfüllt sind. Damit folgt ${\lim }_{x\to \infty }{\int }_{-r}^r\frac{1}{x^2+1}dx=2\pi i\cdot {\text{Res}}_i(f)=2\pi i\cdot (-i/2)=\pi ,$ siehe Beispiel 2.11.6. ¹

Übungsaufgaben

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Quellen

Footnotes

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