Fourierpolynom 2

Definition

Sei $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (oder $f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$) eine stückweise monotone Funktion (dann ist $f$ integrierbar, vgl. VL 28) der Periode $T>0$ und $\omega =\frac{2\pi }{T}$.

Für $k\in {\mathbb{N}}_0$ heißen $a_k=⟨f,\cos (k\omega t)⟩=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)\cos (k\omega t)dt$, $b_k=⟨f,\sin (k\omega t)⟩=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)\sin (k\omega t)dt$, die reellen Fourierkoeffizienten von $f$.

Der Ausdruck ${\phi }_n(t)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{k=1}^n(a_k\cos (k\omega t)+b_k\sin (k\omega t))$ heißt das n-te Fourierpolynom oder das Fourierpolynom der Ordnung $n$ von $f$. ¹

Bemerkung

1. Die Fourierkoeffizienten sind genau wie die Koeffizienten eines Vektors bezüglich einer Orthonormalbasis definiert.
2. Der konstante Term ist $a_0/2$ und nicht $a_0$, da $⟨\cos (0\omega t),\cos (0\omega t)⟩=2$ und nicht 1 ist (siehe E-Kreide), was hier ausgeglichen wird.
3. Es ist immer $b_0=0$, da $\sin (0\omega t)=0$ ist.
4. Für die Fourierkoeffizienten von ${\phi }_n$ gilt:
   • $\frac{2}{T}{\int }_0^T{\phi }_n(t)\cos (k\omega t)dt=a_k=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)\cos (k\omega t)dt$
   • $\frac{2}{T}{\int }_0^T{\phi }_n(t)\sin (k\omega t)dt=b_k=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)\sin (k\omega t)dt$ ²

Beispiele

Sägezahnkurve

Referenz

Übungsaufgaben

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SORT file.ctime

Verknüpfung

• Sinus
• Cosinus
• Skalarprodukt
• Norm
• Sägezahnkurve
• Fourierkoeffizient
• Approximation einer trigonomischen Funktion anhand von Fourierpolynom
• Trigonometrische Polynome

Quellen

• VL-37-E-Kreide-Ana1-LinA-Winkert-Reelle-Fourieranalysis.pdf
• Vorlesung203720-20Teil20220-20Fourierkoeffizienten20und20Fourierpolynome.mp4
• Vorlesung203720-20Teil20320-20Beispiel20Sgezahnkurve.mp4
• page=5
• page=3

Footnotes

1. page=6 ↩

2. page=7 ↩