Komplexe trigonometrische Polynome 2

Definition

Sei $T>0$ und $\omega =\frac{2\pi }{T}$.

Die komplexwertigen Funktionen der Form ${\sum }_{k=-n}^n{c}_k{e}^{ik\omega t}$, mit $c_k\in \mathbb{C}$,

heißen komplexe trigonometrische Polynome vom Grad $n$ oder von der Ordnung $n$. Diese sind $T$-periodisch.

Herleitung

Wir haben schon gesehen, dass sich Sinus- und Cosinusfunktionen oft bequemer mittels der Euler-Formel durch $e^{i\varphi }=\cos (\varphi )+i\sin (\varphi )$ ersetzen lassen.

Es ist also: $\cos (\varphi )=\text{Re}(e^{i\varphi })=\frac{e^{i\varphi }+e^{-i\varphi }}{2}$ $\sin (\varphi )=\text{Im}(e^{i\varphi })=\frac{e^{i\varphi }-e^{-i\varphi }}{2i}$

Damit lassen sich trigonometrische Polynome sehr einfach komplex schreiben:

$\varphi (t)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{k=1}^n(a_k\cos (k\omega t)+b_k\sin (k\omega t))$ $=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{k=1}^n\left(a_k\frac{e^{ik\omega t}+e^{-ik\omega t}}{2}+b_k\frac{e^{ik\omega t}-e^{-ik\omega t}}{2i}\right)$ $=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{k=1}^n\left(\frac{a_k}{2}{e}^{ik\omega t}+\frac{a_k}{2}{e}^{-ik\omega t}+\frac{b_k}{2i}{e}^{ik\omega t}-\frac{b_k}{2i}{e}^{-ik\omega t}\right)$ $=\underset{=:c_0}{\underbrace{\frac{a_0}{2}}}+{\sum }_{k=1}^n\left(\underset{=:c_k}{\underbrace{\left(\frac{a_k}{2}-i\frac{b_k}{2}\right)}}{e}^{ik\omega t}+\underset{=:c_{-k}}{\underbrace{\left(\frac{a_k}{2}+i\frac{b_k}{2}\right)}}{e}^{-ik\omega t}\right)$ $={\sum }_{k=-n}^n{c}_k{e}^{ik\omega t}$

Beispiele

Referenz

Verknüpfung

• Orthonormalbasis

Quellen

• page=2
• VL-39-E-Kreide-Ana1-LinA-Winkert-Komplexe-Fourieranalysis.pdf
• page=299

Übungsaufgaben