Orthogonalitätsrelationen 2

Definition

Sei $T>0$ und $\omega =\frac{2\pi }{T}$. Dann gilt für alle $k,\ell \in {\mathbb{N}}_0$:

1. $\frac{2}{T}{\int }_0^T\cos (k\omega t)\cos (\ell \omega t)dt=\{\begin{array}{ll}2& \text{falls }k=\ell =0,\\ 1& \text{falls }k=\ell >0,\\ 0& \text{falls }k\ne \ell \end{array}$

2. $\frac{2}{T}{\int }_0^T\sin (k\omega t)\sin (\ell \omega t)dt=\{\begin{array}{ll}1& \text{falls }k=\ell >0,\\ 0& \text{sonst}\end{array}$

3. $\frac{2}{T}{\int }_0^T\sin (k\omega t)\cos (\ell \omega t)dt=0$ ¹

In Polardarstellung

Sei $T>0$ und $\omega =\frac{2\pi }{T}$. Für $k_1,k_2\in \mathbb{Z}$ gilt die Identität:

$$\frac{1}{T}{\int }_0^T{e}^{i{k}_1\omega t}{e}^{-i{k}_2\omega t}dt={\delta }_{k_1,k_2}$$

wobei

$${\delta }_{k_1,k_2}=\{\begin{array}{ll}1& \text{falls }{k}_1=k_2\\ 0& \text{sonst}\end{array}$$

das Kronecker-Delta ist. ²

Beweis

Es gilt $\frac{1}{T}{\int }_0^T{e}^{i{k}_1\omega t}{e}^{-i{k}_2\omega t}dt=\frac{1}{T}{\int }_0^T{e}^{i(k_1-k_2)\omega t}dt={\int }_0^1{e}^{2\pi i(k_1-k_2)\tau }d\tau ,$ wobei wir die Substitution $t=\tau T$ benutzt haben.

Die Behauptung für $k_1=k_2$ folgt daraus mit ${\int }_0^{1}d\tau =1$.

Für $k_1\ne k_2$ erhalten wir ${\int }_0^1{e}^{2\pi i(k_1-k_2)\tau }d\tau ={\left[\frac{e^{2\pi i(k_1-k_2)\tau }}{2\pi i(k_1-k_2)}\right]}_0^1=\frac{e^{2\pi i(k_1-k_2)}-1}{2\pi i(k_1-k_2)}=0.$ ³

Beispiele

Referenz

Übungsaufgaben

LIST FROM [[]]
WHERE contains(mytags, [[aufgaben]])
SORT file.ctime ASC

Verknüpfung

• Trigonometrische Polynome
• Orthogonale Vektoren
• Fourierpolynom
• Integration komplexer Funktionen
• Sinus

Quellen

• VL-37-Folien-Ana1-LinA-Winkert-Reelle-Fourieranalysis.pdf
• VL-37-E-Kreide-Ana1-LinA-Winkert-Reelle-Fourieranalysis.pdf
• Vorlesung203720-20Teil20220-20Fourierkoeffizienten20und20Fourierpolynome.mp4
• page=8
• page=283

Footnotes

1. page=page=5 ↩

2. page=8 ↩

3. page=8 ↩