Beweis
Zum Beweis von Stammfunktionen als Transformation des Fourierspektrums berechnen wir den 0-ten Fourierkoeffizient von durch partielle Integration. Wir erhalten
\begin{aligned} d_0 &= \frac{1}{T} \int_0^T \left( \int_0^t f(s)ds \right) dt \\ &= \frac{1}{T} \left[ t \int_0^t f(s)ds \right]_{t=0^+}^{t=T^-} - \frac{1}{T} \int_0^T tf(t)dt \\ &= -\frac{1}{T} \int_0^T tf(t)dt \quad \text{wegen Bedingung (1.16)}. \end{aligned} }$$ [^1] Für ${k \in \mathbb{Z}\setminus\{0\}}$ wenden wir Aussage (i) auf ${F}$ an: Weil ${F' = f}$ erhalten wir die Beziehung ${ik\omega d_k = c_k \quad \text{für alle } k \in \mathbb{Z}\setminus\{0\}}$. Daraus folgt ${d_k = \frac{c_k}{ik\omega}}$ für ${k \ne 0}$ wie behauptet. [^2] # Beispiele # Übungsaufgaben ```dataview LIST FROM [[]] WHERE contains(mytags, [[aufgaben]]) SORT file.name ASC ``` # Referenz ## Verknüpfung - ## Quellen [^1]: [[tum_analysis3_EI_KoenigUlbrich-WS2526-skript.pdf#page=16|page=16]] [^2]: [[tum_analysis3_EI_KoenigUlbrich-WS2526-skript.pdf#page=17|page=17]]