202510241010 - Hilbertraum

Definition

Ein (komplexer) Hilbertraum $\mathcal{H}$ ist ein $\mathbb{C}$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt $⟨\cdot ,\cdot ⟩:\mathcal{H}\times \mathcal{H}\to \mathbb{C}$, so dass $\mathcal{H}$ bezüglich der induzierten Norm $\Vert v\Vert =\sqrt{⟨v,v⟩}$ vollständig ist (Vollständigkeit bedeutet, dass jede Cauchyfolge in $\mathcal{H}$ konvergiert).

Eine zentrale Aussage über Vektoren in einem Hilbertraum ist die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung $|⟨u,v⟩|\le \Vert u\Vert \cdot \Vert v\Vert \text{fu¨r alle }u,v\in \mathcal{H}.$ Sie hat unter anderem als Konsequenz, dass das Skalarprodukt (sowie die Norm) stetig ist, d.h. sind $\{v_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$, $\{w_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergente Folgen in $\mathcal{H}$ mit $v={\lim }_{n\to \infty }{v}_n$, $w={\lim }_{n\to \infty }{w}_n$, dann gilt $⟨v_n,w_n⟩\to ⟨v,w⟩\text{fu¨r }n\to \infty ,$ $\Vert v_n\Vert \to \Vert v\Vert \text{fu¨r }n\to \infty .$ Konvergenz von Folgen in $\mathcal{H}$ ist dabei mittels der Norm $\Vert \cdot \Vert$ definiert. ¹

Oberthema

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Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

• 202511141611 - Motivation für Hilbertraum

Quellen

• tum_analysis3_Ulbrich-Ana3EI-WS2526-VL8.pdf

Footnotes

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