202510250310 - Fourier-Reihe mittels Orthonormalsystem 2

Definition

Aus der Vollständigkeit des Orthonormalsystems $\{t\to e_k(t)=e^{ik\omega t}{\}}_{k\in \mathbb{Z}}$ (Lemma 1.1.67) und Theorem 1.1.68 schließen wir, dass für jede stückweise stetige T-periodische Funktion $f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ mit Fourierspektrum $\{c_k{\}}_{k\in \mathbb{Z}}$ gilt ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{T}{\int }_0^T{\left|f(t)-{\sum }_{k=-n}^n{c}_k{e}^{ik\omega t}\right|}^{2}dt\to 0\text{fu¨r }n\to \infty ,(1.34)$ denn die linke Seite ist gleich ${\lim }_{n\to \infty }\Vert f-S_f^n{\Vert }^2$. Wir bezeichnen (1.34) als Konvergenz der Fourierreihe im quadratischen Mittel. Die Fourierkoeffizienten erfüllen die Parseval-Bessel-Gleichung ${\sum }_{k\in \mathbb{Z}}|c_k{|}^2=\frac{1}{T}{\int }_0^T|f(t){|}^{2}dt$ wegen der Parseval-Identität und $c_k=⟨e_k,f⟩$. Außerdem gilt folgende Eindeutigkeitseigenschaft der Fourierreihe: sind $f,g$ stetig mit identischen Fourierkoeffizienten, dann gilt $f(t)=g(t)$ für alle $t\in \mathbb{R}$. Dies folgt aus der Vollständigkeit des Orthonormalsystems und der Annahme, die impliziert, dass $⟨e_k,f-g⟩=0$ für alle $k\in \mathbb{Z}$. ¹

Beispiele

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

• 202510250410 - Punktweise Konvergenz

Quellen

Footnotes

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