202510282010 - Beweis für Dualitätsprinzip für Laplacetransformation

Beweis

Gleichung (1.68) folgt aus partieller Integration, denn

$$\mathcal{L}[f^{\prime }](s)={\int }_0^{\infty }{f}^{\prime }(t)e^{-ts}dt=[f(t)e^{-st}{]}_{t=0}^{\infty }+s{\int }_0^{\infty }f(t)e^{-st}dt=-f(0^{+})+s\mathcal{L}[f](s).$$

Die Behauptung (1.67) folgt induktiv aus (1.68): z.B. gilt für $m=2$

$$\mathcal{L}[f^{\prime \prime }](s)=s\mathcal{L}[f^{\prime }](s)-f^{\prime }(0^{+})=s(s\mathcal{L}[f](s)-f(0^{+}))-f^{\prime }(0^{+})=s^2\mathcal{L}[f](s)-sf(0^{+})-f^{\prime }(0^{+}).$$

Dies zeigt (i). Der Beweis von (ii) geht analog: Sei zunächst $m=1$. Für $\text{Re}(s)>{\sigma }_0$ erlauben die entsprechenden Sätze für uneigentliche Parameterintegrale, Differentiation und Integration zu vertauschen. Dies führt auf

$$\mathcal{L}[f{]}^{\prime }(s)=\frac{d}{ds}{\int }_0^{\infty }f(t)e^{-st}dt={\int }_0^{\infty }\frac{d}{ds}(f(t)e^{-st})dt=-{\int }_0^{\infty }tf(t)e^{-st}dt=\mathcal{L}[t\to (-t)f(t)](s).$$

Für allgemeine $m\in \mathbb{N}$ folgt die Behauptung (ii) durch m-fache Anwendung dieser Identität. ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

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Quellen

Footnotes

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