202511082111 - Fragen zu Analysis 3 Übung 2

Betroffene Notes

LIST 
FROM "6 - Atomic Notes"
WHERE contains(this.file.outlinks, file.link)
SORT file.ctime ASC

Fragen

Z 2.2

Kann man die Grenzen von dem Integral beliebig im 2 $\pi$ schieben also von $[-\pi ,\pi ]$ zu $[0,2\pi ]$?

Ja, man dann die Grenzen so Verschieben $[a,a+T]$

Warum wird bei der Berechnung von den komplexen Fourierkoeffizienten in der Lösung der Vorfaktor $\frac{1}{T}$ weggelassen

Z 2.3

Warum kann man $\frac{1}{2}{\int }_0^{4}f(t)\cdot \cos \left(\frac{\pi }{2}kt\right)dt$ in ${\int }_0^{2}f(t)\cdot \cos \left(\frac{\pi }{2}kt\right)dt$ umwandeln

Die Transformation ist aufgrund der Eigenschaften der Funktion $f(t)$ und des Integranden möglich:

1. $f(t)$ ist eine gerade Funktion: Eine Funktion ist gerade, wenn $f(-t)=f(t)$. Die Aufgabenstellung besagt, dass $f$ als stetige gerade Funktion fortgesetzt wird.
2. $\cos \left(\frac{\pi }{2}kt\right)$ ist eine gerade Funktion: Die Kosinusfunktion ist immer eine gerade Funktion.
3. Produkt zweier gerader Funktionen: Das Produkt zweier gerader Funktionen ist ebenfalls eine gerade Funktion. Daher ist der gesamte Integrand $g(t)=f(t)\cdot \cos \left(\frac{\pi }{2}kt\right)$ eine gerade Funktion.
4. Periodizität: Die Funktion $f(t)$ ist 4-periodisch. Das bedeutet, dass das Integral über eine beliebige Periode von Länge 4 denselben Wert hat.
5. Integrale über gerade Funktionen: Für eine gerade Funktion $g(t)$ gilt, dass das Integral über ein symmetrisches Intervall $[-a,a]$ gleich $2{\int }_0^{a}g(t)dt$ ist.

Da $g(t)$ eine gerade Funktion und 4-periodisch ist, können wir das Integral über eine Periode $[0,4]$ wie folgt umschreiben: ${\int }_0^{4}g(t)dt={\int }_{-2}^{2}g(t)dt$ (Da das Integral über jede volle Periode gleich ist, können wir die Periode von $[0,4]$ auf $[-2,2]$ verschieben, was ein symmetrisches Intervall ist.)

Da $g(t)$ gerade ist, gilt für das symmetrische Intervall $[-2,2]$: ${\int }_{-2}^{2}g(t)dt=2{\int }_0^{2}g(t)dt$ Kombiniert man diese beiden Schritte, erhält man: ${\int }_0^{4}g(t)dt=2{\int }_0^{2}g(t)dt$ Setzt man dies in den ursprünglichen Ausdruck ein: $\frac{1}{2}{\int }_0^{4}f(t)\cdot \cos \left(\frac{\pi }{2}kt\right)dt=\frac{1}{2}{\int }_0^{4}g(t)dt=\frac{1}{2}\left(2{\int }_0^{2}g(t)dt\right)={\int }_0^{2}g(t)dt$ $={\int }_0^{2}f(t)\cdot \cos \left(\frac{\pi }{2}kt\right)dt$ Die Transformation ist also eine direkte Folge der Geradheit der Funktion $f(t)$ und der Periodizität.

H 2.2

Ist die Gleichmäßige Konvergenz entsprechend Theorem 1.1.21 (ii) nur erfüllt, wenn die Funktion stetig ist

Ja, für die gleichmäßige Konvergenz der Fourierreihe auf dem gesamten Definitionsbereich muss die Funktion $f$ stetig sein (zusätzlich zur stückweisen stetigen Differenzierbarkeit). Theorem 1.1.21 (ii) besagt, dass die Partialsummen auf jedem abgeschlossenen Intervall ohne Sprungstellen gleichmäßig gegen $f$ konvergieren. Wenn die Funktion Sprungstellen hat, kann die Fourierreihe auf keinem Intervall, das eine Sprungstelle enthält, gleichmäßig konvergieren.

Referenz

Verknüpfung

Quellen