202511092011 - Beweis des Satzes von Liouville

Beweis

Angenommen, es gelte $|f(z)|\le C$ für alle $z\in \mathbb{C}$. Dann folgt mit der Cauchy-Integralformel für Ableitungen und der Standardabschätzung, dass für $z\in \mathbb{C}$ und $r>0$ beliebig gilt $|f^{\prime }(z)|=\left|\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|\zeta -z|=r}\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z{)}^2}d\zeta \right|\le \frac{1}{2\pi }2\pi r\frac{C}{r^2}=\frac{C}{r}.$ Daraus folgt $|f^{\prime }(z)|\le \frac{C}{r}\to 0\text{fu¨r }r\to \infty ,$ also $f^{\prime }(z)=0\text{fu¨r alle }z\in \mathbb{C}.$ Nach Lemma 2.2.14 ist $f$ konstant. ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

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