202511101511 - Beweis für Regeln zur Konstruktion von Laurent-Reihen

Beweis

Für (i) betrachten wir die Taylor-Reihe $g(z)={\sum }_{l=0}^{\infty }\frac{g^{(l)}(z_0)}{l!}(z-z_0{)}^l$ ein und erhalten für jedes $z\in A_{0,R}(z_0)$ $f(z)=\frac{g(z)}{(z-z_0{)}^m}=\frac{1}{(z-z_0{)}^m}{\sum }_{l=0}^{\infty }\frac{g^{(l)}(z_0)}{l!}(z-z_0{)}^l={\sum }_{k=-m}^{\infty }\frac{g^{(k+m)}(z_0)}{(k+m)!}(z-z_0{)}^k.$ Wegen Eindeutigkeit der Laurent-Reihe ist dies die Laurent-Reihe von $f$ auf $A_{0,R}(z_0)$. Für (ii) verwenden wir die Taylor-Reihendarstellung $g(z)={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{g^{(k)}(0)}{k!}{z}^k\text{fu¨r }z\in B_R(0)$ von $g$ auf $B_R(0)$. Wir beobachten, dass $z\in A_{1/R,\infty }(z_0)$ genau dann, wenn $|1/(z-z_0)|<R$. Damit folgt für $z\in A_{1/R,\infty }(z_0)$ $f(z)=g\left(\frac{1}{z-z_0}\right)={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{g^{(k)}(0)}{k!}{\left(\frac{1}{z-z_0}\right)}^k,$ wie behauptet. ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

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