202510271910 - Beweis für Spektralfunktion der verallgemeinerten Ableitung 2

Beweis

Nach Lemma 1.2.13 gilt

$$\widehat{f^{\prime }}(\omega )=i\omega \hat{f}(\omega )-\sum _{k=1}^N(f(t_k^{+})-f(t_k^{-}))e^{-i\omega t_k}\text{fu¨r alle }\omega \in \mathbb{R}.$$

Andererseits hat die (verallgemeinerte Funktion) $t\to \delta (t-t_j)$ die Spektraldichte $\omega \to e^{-i\omega t_j}$, siehe Lemma 1.2.11 (iv) und Gleichung 1.55. Die Behauptung folgt daraus mittels der Linearität der Fouriertransformation. ¹

Übungsaufgaben

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Referenz

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Quellen

Footnotes

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