202511072111 - Beispiel Stammfunktion der Sägezahnfunktion

Beispiel

Betrachte wieder die 2π-periodische Sägezahnfunktion $f$ von Beispiel 1.1.8 In Beispiel 1.1.13 hatten wir gezeigt, dass der $k$-te Fourierkoeffizient von $f$ gleich $c_k=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2ik}& \text{fu¨r }k\ne 0\\ 0& \text{fu¨r }k=0\end{array}$ ist. Insbesondere erfüllt $f$ die Bedingung Gleichung 1.16 (wegen $c_0=0$). Nach Lemma 1.1.36(ii) ist das Fourierspektrum $\{d_k{\}}_{k\in \mathbb{Z}}$ von $F(t)={\int }_0^{t}f(s)ds$ gegeben durch $d_k=\frac{c_k}{ik\omega }=-\frac{1}{2k^2}$ für $k\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$. Für $k=0$ berechnen wir $d_0=-\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }tf(t)dt=-\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }t\cdot 2(\pi -t)dt=-\frac{1}{4\pi }{\left[\frac{\pi t^2}{2}-\frac{t^3}{3}\right]}_0^{2\pi }=-\frac{1}{4\pi }\left(\frac{2{\pi }^3}{2}-\frac{8{\pi }^3}{3}\right)=\frac{{\pi }^2}{6}$ Da $F$ reellwertig ist, können wir Lemma 1.1.26 benutzen, um eine $\cos$-$\sin$-Reihe zu erhalten: wir haben $a_k=2\text{Re}(d_k)=\{\begin{array}{ll}-\frac{1}{k^2}& \text{fu¨r }k\in \mathbb{N}\\ \frac{{\pi }^2}{3}& \text{fu¨r }k=0\end{array}$, $b_k=-2\text{Im}(d_k)=0$ für alle $k\in \mathbb{N}$, also ist die Fourierreihe von $F$ gegeben durch $S_F(t)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{k=1}^{\infty }(a_k\cos (kt)+b_k\sin (kt))=\frac{{\pi }^2}{6}-{\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^2}\cos (kt)$ Nach Theorem 1.1.21 und weil $F$ stetig differenzierbar ist, gilt $S_F(t)=F(t)$ für alle $t\in \mathbb{R}$. Insbesondere gilt dies für $t=0$ und wir erhalten $S_F(0)=F(0)=0$ oder $\frac{{\pi }^2}{6}={\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^2}$. Allgemeiner können wir auch das Fourierspektrum von Funktionen betrachten, die nur stückweise stetig differenzierbar sind.¹

Übungsaufgaben

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Referenz

Verknüpfung

Quellen

Footnotes

1. page=17 ↩